深度学习符号

此笔记中使用的数学符号参考自《深度学习》和 Deep learning specialization

常用的定义

• 原版符号定义中，\(x^{(i)}\) 与 \(x_i\) 存在混用的情况，请注意识别

数据标记与上下标

• 上标 \(^{(i)}\) 代表第 \(i\) 个训练样本
• 上标 \(^{[l]}\) 代表第 \(l\) 层
• \(m\) 数据集的样本数
• 下标 \(_x\) 输入数据
• 下标 \(_y\) 输出数据
• \(n_x\) 输入大小
• \(n_y\) 输出大小 (或者类别数)
• \(n_h^{[l]}\) 第 \(l\) 层的隐藏单元数
• \(L\) 神经网络的层数
• 在循环中
  • \(n_x = n_h^{[0]}\)
  • \(n_y = n_h^{[L + 1]}\)

神经网络模型

• \(X \in \mathbb{R}^{n_x \times m}\) 代表输入的矩阵
• \(x^{(i)} \in \mathbb{R}^{n_x}\) 代表第 \(i\) 个样本的列向量
• \(Y \in \mathbb{R}^{n_y \times m}\) 是标记矩阵
• \(y^{(i)} \in \mathbb{R}^{n_y}\) 是第 \(i\)样本的输出标签
• \(W^{[l]} \in \mathbb{R}^{l \times (l-1)}\) 代表第 \([l]\) 层的权重矩阵
• \(b^{[l]} \in \mathbb{R}^{l}\) 代表第 \([l]\) 层的偏差矩阵
• \(\hat{y} \in \mathbb{R}^{n_y}\) 是预测输出向量
  • 也可以用 \(a^{[L]}\) 表示

正向传播方程示例

• \(a = g^{[l]}(W_x x^{(i)}_ + b_1) = g^{[l]}(z_1)\)
  • 其中， \(g^{[l]}\) 代表第 \(l\) 层的激活函数
• \(\hat{y} = softmax(W_h h + b_2)\)

通用激活公式

• \(a_j^{[l]} = g^{[l]}(z_j^{[l]}) = g^{[l]}(\sum_k w_{jk}^{[l]}a_k^{[l-1]} + b_j^{[l]})\)
  • \(j\) 当前层的维度
  • \(k\) 上一层的维度

损失函数

• \(J(x, W, b, y)\) 或者 \(J(\hat{y}, y)\)
• 常见损失函数示例
  • \(J_{CE}(\hat{y}, y) = -\sum_{i=0}^m y^{(i)}log\hat{y}^{(i)}\)
  • \(J_1(\hat{y}, y) = -\sum_{i=0}^m |y^{(i)} - \hat{y}^{(i)}|\)

深度学习图示

• 节点：代表输入、激活或者输出
• 边：代表权重或者误差

提供两种等效的示意图

详细的网络

常用于神经网络的表示,为了更好的审美，我们省略了一些在边上的参数的细节(如\(w_{ij}^{[l]}\) 和\(b_{i}^{[l]}\)等)。

简化网络

两层神经网络的更简单的表示。

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